sábado, 5 de janeiro de 2013

Radiciação

Raízes de Radicando Real com Índice Não Nulo


A raiz enésima de a é igual a b, se e somente se b elevado a enésima potência for igual a a:




Não Existe a Raiz de um Radicando Negativo e Índice Par


Por quê?

Vamos tomar como exemplo a raiz quadrada de menos 16 expressa por . Segundo a definição temos:



Qual é o valor numérico que b deve assumir para que multiplicado por ele mesmo seja igual a -16?



Como sabemos na multiplicação de números reais ao multiplicarmos dois números, diferentes de zero, com o mesmo sinal, o resultado sempre será positivo, então não existe um número no conjunto dos números reais que multiplicado por ele mesmo dará um valor negativo, pois o sinal é o mesmo em ambos os fatores da multiplicação.


A Raiz de um Radicando Negativo e Índice Ímpar é Negativa


Em uma multiplicação se todos os sinais forem positivos, obviamente o produto final também será positivo, já se tivermos fatores negativos, se estes forem em quantidade par o resultado será positivo, se forem em quantidade ímpar o resultado será negativo. É evidente que nenhum dos fatores pode ser igual a zero. Então a raiz enésima de a, um número real negativo será negativa se o índice for ímpar. Se for par como vimos acima, não existirá.

Vamos analisar a raiz quinta de menos 32 que se expressa como :



Como o expoente de b é ímpar, ou seja, o número de fatores que representa a potência é impar, para que o resultado seja -32, é preciso que b seja negativo. Então a raiz de um número negativo e índice ímpar sempre será um número negativo.

Neste exemplo -2 é o número negativo que elevado a 5 resulta em -32, logo:



Note que na potência colocamos o -2 entre parênteses, pois se não o fizéssemos, apenas o 2 estaria elevado à quinta potência. Como o expoente é ímpar, não faria diferença no resultado se não os tivéssemos utilizado, mas isto seria imprescindível se o expoente fosse um número par, para que não houvesse erro de sinal no resultado da potenciação.


A Raiz de um Radicando Positivo também é Positiva


Não importa se o índice é par ou impar, em não sendo nulo, a raiz de um radicando positivo também será positiva.

Vamos analisar a , que se lê raiz quadrada de nove:



Logo 3 é o número que elevado ao quadrado dá 9.

Mas você pode também se perguntar:

E se for -3? Se elevarmos -3 ao quadrado também iremos obter nove!

Correto, mas lembra-se da definição da raiz para um radicando positivo?



Tanto o radicando quanto a raiz devem ser positivos, é por isto que não podemos considerar o -3.


A Raiz de um Radicando Nulo também é Nula


Isto é verdade desde que o índice não seja nulo também.

Exemplo:

, pois .


Propriedades da Radiciação


As propriedades que vamos estudar agora são consideradas no conjunto dos números reais positivos ou nulos, podendo não se verificar caso o radicando seja negativo, pois como sabemos, não existe raiz real de um número negativo.


A Raiz de uma Potência é uma Potência com Expoente Fracionário


Assim como de uma potenciação podemos chegar a uma radiciação, desta podemos chegar a uma potenciação:



Exemplo:



Já que n não pode ser zero, a partir desta propriedade concluímos que não existe raiz de índice zero. Se n fosse zero, o denominador da fração do expoente seria zero, que sabemos não ser permitido.


Mudança de Índice pela sua Multiplicação/Divisão e do Expoente do Radicando por um Mesmo número Não Nulo


Se multiplicarmos ou dividirmos tanto o índice do radical, quanto o expoente do radicando por um mesmo número diferente de zero, o valor do radical continuará o mesmo:



Exemplos:






Raiz de uma Potência


A raiz n de uma potência de a elevado a m, é a potência m da raiz n de a:



Exemplo:




Produto de Radicais de Mesmo Índice


O produto de dois radicais de mesmo índice é igual à raiz deste índice do produto dos dois radicandos:



Exemplo:



Vamos verificar:




Divisão de Radicais de Mesmo Índice


O quociente de dois radicais de mesmo índice é igual a raiz deste índice do quociente dos dois radicandos:



Exemplo:



Verificando:




Simplificação de Radicais Através da Fatoração


Podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através da decomposição do radicando em fatores primos. O raciocínio é simples, decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e depois simplificamos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando.

Vamos simplificar decompondo 91125 em fatores primos:



Como 91125 = 36 . 53 podemos dizer que:



Repare que tanto o expoente do fator 36, quanto o expoente do fator 53 são múltiplos do índice do radicando que é igual a 3. Vamos então simplificá-los:



Perceba que através da fatoração de 91125 e da simplificação dos expoentes dos fatores pelo índice do radicando, extraímos a sua raiz cúbica eliminando assim o radical.

Vejamos agora o caso do radical :



Logo 2205 = 32 . 5 . 72, então:



Como os expoentes dos fatores 32 e 72 são divisíveis pelo índice 2, vamos simplificá-los retirando-os assim do radical:



Neste caso o expoente do fator 5 não é divisível pelo índice 2 do radicando, por isto após a simplificação não conseguimos eliminar o radical.

Agora vamos analisar o número :



Note que 729 = 36, então:



Neste caso o expoente de 36 não é divisível pelo índice 5, mas é maior, então podemos escrever:



Repare que agora o expoente do fator 35 é divisível pelo índice 5, podemos então retirá-lo do radical:



Agora vamos pensar um pouco. Após a fatoração tínhamos o radical . O expoente 6 não é divisível por 5, pois ao realizarmos a divisão, obtemos um quociente de 1 e um resto também de 1. Pois bem, o 1 do quociente será o expoente da base 3 ao sair o radical. A parte que ainda ficou no radical terá como expoente o 1 do resto. Vamos a alguns exemplos para melhor entendermos a questão:

Simplifique .

Dividindo 18 por 7 obtemos um quociente de 2 é um resto de 4, logo fora do radical a base 5 terá o expoente 2 do quociente e a base dentro do radical terá o expoente 4 que é o resto da divisão:



Logo:



Outro exemplo, simplifique .

A divisão de 15 por 5 resulta em quociente 3 e resto 0, pois a divisão é exata, mas não há problema. Seguindo as explicações temos:



Veja que quando o é resto for zero podemos eliminar o radical, já que o radicando sempre será igual a 1, pois todo número natural não nulo elevado a zero é igual a um:



Nos casos em que os expoentes de todos os fatores forem menores que o índice do radical como, por exemplo, em , a simplificação não poderá ser realizada.

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