sábado, 5 de janeiro de 2013

Radiciação

Raízes de Radicando Real com Índice Não Nulo


A raiz enésima de a é igual a b, se e somente se b elevado a enésima potência for igual a a:




Não Existe a Raiz de um Radicando Negativo e Índice Par


Por quê?

Vamos tomar como exemplo a raiz quadrada de menos 16 expressa por . Segundo a definição temos:



Qual é o valor numérico que b deve assumir para que multiplicado por ele mesmo seja igual a -16?



Como sabemos na multiplicação de números reais ao multiplicarmos dois números, diferentes de zero, com o mesmo sinal, o resultado sempre será positivo, então não existe um número no conjunto dos números reais que multiplicado por ele mesmo dará um valor negativo, pois o sinal é o mesmo em ambos os fatores da multiplicação.


A Raiz de um Radicando Negativo e Índice Ímpar é Negativa


Em uma multiplicação se todos os sinais forem positivos, obviamente o produto final também será positivo, já se tivermos fatores negativos, se estes forem em quantidade par o resultado será positivo, se forem em quantidade ímpar o resultado será negativo. É evidente que nenhum dos fatores pode ser igual a zero. Então a raiz enésima de a, um número real negativo será negativa se o índice for ímpar. Se for par como vimos acima, não existirá.

Vamos analisar a raiz quinta de menos 32 que se expressa como :



Como o expoente de b é ímpar, ou seja, o número de fatores que representa a potência é impar, para que o resultado seja -32, é preciso que b seja negativo. Então a raiz de um número negativo e índice ímpar sempre será um número negativo.

Neste exemplo -2 é o número negativo que elevado a 5 resulta em -32, logo:



Note que na potência colocamos o -2 entre parênteses, pois se não o fizéssemos, apenas o 2 estaria elevado à quinta potência. Como o expoente é ímpar, não faria diferença no resultado se não os tivéssemos utilizado, mas isto seria imprescindível se o expoente fosse um número par, para que não houvesse erro de sinal no resultado da potenciação.


A Raiz de um Radicando Positivo também é Positiva


Não importa se o índice é par ou impar, em não sendo nulo, a raiz de um radicando positivo também será positiva.

Vamos analisar a , que se lê raiz quadrada de nove:



Logo 3 é o número que elevado ao quadrado dá 9.

Mas você pode também se perguntar:

E se for -3? Se elevarmos -3 ao quadrado também iremos obter nove!

Correto, mas lembra-se da definição da raiz para um radicando positivo?



Tanto o radicando quanto a raiz devem ser positivos, é por isto que não podemos considerar o -3.


A Raiz de um Radicando Nulo também é Nula


Isto é verdade desde que o índice não seja nulo também.

Exemplo:

, pois .


Propriedades da Radiciação


As propriedades que vamos estudar agora são consideradas no conjunto dos números reais positivos ou nulos, podendo não se verificar caso o radicando seja negativo, pois como sabemos, não existe raiz real de um número negativo.


A Raiz de uma Potência é uma Potência com Expoente Fracionário


Assim como de uma potenciação podemos chegar a uma radiciação, desta podemos chegar a uma potenciação:



Exemplo:



Já que n não pode ser zero, a partir desta propriedade concluímos que não existe raiz de índice zero. Se n fosse zero, o denominador da fração do expoente seria zero, que sabemos não ser permitido.


Mudança de Índice pela sua Multiplicação/Divisão e do Expoente do Radicando por um Mesmo número Não Nulo


Se multiplicarmos ou dividirmos tanto o índice do radical, quanto o expoente do radicando por um mesmo número diferente de zero, o valor do radical continuará o mesmo:



Exemplos:






Raiz de uma Potência


A raiz n de uma potência de a elevado a m, é a potência m da raiz n de a:



Exemplo:




Produto de Radicais de Mesmo Índice


O produto de dois radicais de mesmo índice é igual à raiz deste índice do produto dos dois radicandos:



Exemplo:



Vamos verificar:




Divisão de Radicais de Mesmo Índice


O quociente de dois radicais de mesmo índice é igual a raiz deste índice do quociente dos dois radicandos:



Exemplo:



Verificando:




Simplificação de Radicais Através da Fatoração


Podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através da decomposição do radicando em fatores primos. O raciocínio é simples, decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e depois simplificamos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando.

Vamos simplificar decompondo 91125 em fatores primos:



Como 91125 = 36 . 53 podemos dizer que:



Repare que tanto o expoente do fator 36, quanto o expoente do fator 53 são múltiplos do índice do radicando que é igual a 3. Vamos então simplificá-los:



Perceba que através da fatoração de 91125 e da simplificação dos expoentes dos fatores pelo índice do radicando, extraímos a sua raiz cúbica eliminando assim o radical.

Vejamos agora o caso do radical :



Logo 2205 = 32 . 5 . 72, então:



Como os expoentes dos fatores 32 e 72 são divisíveis pelo índice 2, vamos simplificá-los retirando-os assim do radical:



Neste caso o expoente do fator 5 não é divisível pelo índice 2 do radicando, por isto após a simplificação não conseguimos eliminar o radical.

Agora vamos analisar o número :



Note que 729 = 36, então:



Neste caso o expoente de 36 não é divisível pelo índice 5, mas é maior, então podemos escrever:



Repare que agora o expoente do fator 35 é divisível pelo índice 5, podemos então retirá-lo do radical:



Agora vamos pensar um pouco. Após a fatoração tínhamos o radical . O expoente 6 não é divisível por 5, pois ao realizarmos a divisão, obtemos um quociente de 1 e um resto também de 1. Pois bem, o 1 do quociente será o expoente da base 3 ao sair o radical. A parte que ainda ficou no radical terá como expoente o 1 do resto. Vamos a alguns exemplos para melhor entendermos a questão:

Simplifique .

Dividindo 18 por 7 obtemos um quociente de 2 é um resto de 4, logo fora do radical a base 5 terá o expoente 2 do quociente e a base dentro do radical terá o expoente 4 que é o resto da divisão:



Logo:



Outro exemplo, simplifique .

A divisão de 15 por 5 resulta em quociente 3 e resto 0, pois a divisão é exata, mas não há problema. Seguindo as explicações temos:



Veja que quando o é resto for zero podemos eliminar o radical, já que o radicando sempre será igual a 1, pois todo número natural não nulo elevado a zero é igual a um:



Nos casos em que os expoentes de todos os fatores forem menores que o índice do radical como, por exemplo, em , a simplificação não poderá ser realizada.

Teória de Potenciação

Na operação com potências, ao efetuarmos a sua resolução podemos utilizar algumas propriedades para simplificar os cálculos.

Produto de potência de mesma base

Sem utilizar essa propriedade resolveríamos uma multiplicação de potência de mesma base da seguinte forma:

22 . 23 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25 = 32

Utilizando a propriedade de produtos de mesma base, resolvemos da seguinte forma: como é um produto de bases iguais, basta repetir a base e somar os expoentes.

22 . 23 = 22 + 3 = 25 = 32

51 . 53 = 51 + 3 = 54 = 625

Quocientes de potências de mesma base

Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 : 126 ficaria da seguinte forma:

128 : 126 = 429981696 : 2985984 = 144

Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada, veja: como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes.

128 : 126 = 128 – 6 = 122 = 144

(-5)6 : (-5)2 = (-5)6 – 2 = (-5)4 = 625

Potência de Potência

Quando nos deparamos com a seguinte potência (32)3 resolvemos primeiro a potência que está dentro dos parênteses e depois, com o resultado obtido, elevamos ao expoente de fora, veja:

(32)3 = (3 . 3)3 = 93 = 9 . 9 . 9 = 729

Utilizando a propriedade de potência, a resolução ficará mais simplificada: basta multiplicarmos os dois expoentes, veja:

(32)3 = 32 . 3 = 36 = 729

(-91)2 = (-9)1 . 2 = (-9)2 = 81

Potência de um produto


Veja a resolução da potência de um produto sem utilizarmos a propriedade:
(3 x 4)3 = (3 x 4) x (3 x 4) x (3 x 4)
(3 x 4)3 = 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4
(3 x 4)3 = 27 x 64
(3 x 4)3 = 1728

Utilizando a propriedade, a resolução ficaria assim:

(3 x 4)3 = 33 x 43 = 27 x 64 = 1728



sexta-feira, 4 de janeiro de 2013

Exercícios Permutação Simples e com Repetição

1) Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutações podem ser formadas contendo as letras: A,E e I


2) De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?



3) Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR?



4) Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9.



5) Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI?



6) Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: ARARA?



7) Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES?



8) Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES começando por U?



9) Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES terminando por S?



10) Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES começando por U e terminando por S?

Exercícios Frações

  1. Qual é a alternativa que representa a fração 9/2 em números decimais?
    a. 3,333
    b. 4,25
    c. 5,01
    d. 4,5
    
  2. Qual é a alternativa que representa a fração 35/1000 em números decimais?
    a. 0,35
    b. 3,5
    c. 0,035
    d. 35
    
  3. Qual é a alternativa que representa o número 0,65 na forma de fração?
    a. 65/10
    b. 65/100
    c. 65/1000
    d. 65/10000
    

  1. Qual é a alternativa que representa a soma 4,013+10,182?
    a. 14,313
    b. 13,920
    c. 14,213
    d. 14,083
    
  2. Qual é a alternativa que é igual à subtração do número decimal 242,12 do número decimal 724,96?
    a. 48,284
    b. 586,28
    c. 241,59
    d. 482,84
    
  3. Qual é a alternativa que representa a subtração 3,02-0,65?
    a. 2,37
    b. 3,37
    c. 1,32
    d. 23,7