domingo, 26 de fevereiro de 2012

Razões Trigonométricas e Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Contexto histórico


A BRILHANTE IDEIA DE ARISTARCO


Muitas pessoas pensam que as ideias geniais costumam ser profundas e complicadas. Frequentemente elas são simples; tanto que muitas vezes nós mesmos, comuns mortais, nos surpreendemos exclamando " mas como que eu não pensei nisso antes ? !" 
Reflita um pouco, caro leitor, e tente entender por que o Sol está muitíssimo mais distante da Terra do que a Lua. Mas não se sinta frustrado se você não perceber o exato porquê, pois a ideia que teve Aristarco para chegar a essa conclusão é considerada por autores abalizados como uma das mais notáveis da história da ciência.
Aristarco observou a Lua em quarto crescente ou quarto minguante, quando ela é vista metade escura metade iluminada. Fazendo a observação exatamente ao nascer ou ao pôr do Sol, constatamos que ela está quase na vertical acima de nossas cabeças.
Vamos fazer um desenho, representado o observador terrestre por T, o centro da Lua por L e o centro do Sol por S. Obtemos um triângulo LST, que é retângulo em L, e cujo ângulo a estará muito próximo de 90º. Esta constatação já é suficiente para nos fazer ver que o Sol está muito mais longe de nós do que a Lua. Do contrário, o ângulo a seria bem menos.
Sendo a muito próximo de 90º, o ângulo B será bem mais próximo de zero, pois estes dois ângulos são complementares. Aristarco achou para a um valor próximo de 87º. Desenhando então um triângulo semelhante ao triângulo TSL, podemos constatar que o lado TS é aproximadamente 20 vezes o lado TL. Ou seja, a distância da Terra ao Sol é aproximadamente 20 vezes a distância da Terra à Lua.

quarta-feira, 22 de fevereiro de 2012

Filmes de Matemática, como um recurso a ser utilizado nas aulas de Matemática




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segunda-feira, 20 de fevereiro de 2012

Progressão Aritmética e Progressão Geométrica

Contexto histórico




Thomas Malthus usou as progressões para explicar sua teoria sobre o crescimento populacional e a fome.
Existem relatos do uso de progressões no papiro de Ahmes ( século XVII a. C.), os Pitagóricos também deram a sua contribuição através dos estudos do som, eles concluíram que a vibração das cordas produzia uma frequência que formava uma sequência numérica. Matemáticos como Euclides de Alexandria ( século III a. C.), Diofanto (século III d. C.) e o hindu Aryabata (499 d. C.) estabeleceram em seus trabalhos regras relacionadas às progressões.
As sequências numéricas criadas por Fibonacci davam continuidade aos estudos e de alguma forma as progressões estavam presentes em diversas pesquisas. Gauss (1777 - 1855) foi um dos maiores gênios da Matemática, chegou a ser chamado de príncipe da Matemática, contribuindo de vez para a introdução dos cálculos sobre progressões.
As progressões representam uma importante ferramenta, pois sua aplicabilidade se encontra em situações relacionadas à Matemática financeira. Os juros simples podem ser relacionados às progressões aritméticas e os juros compostos estão diretamente ligados às progressões geométricas.
Os estudos relacionados às progressões são fundamentados nas sequências lógicas finitas ou infinitas e podem ser encontrados nas funções exponenciais e na Geometria.

segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012

Resolução de equações de 1° grau

- Contexto histórico




    O primeiro indício do uso de equações está relacionado, aproximadamente, ao ano de 1650 a. C., no documento denominado Papiro de Rhind, adquirido por Alexander Rhind, na cidade de Luxor - Egito, em 1858. O papiro de Rhind também recebe o nome de Ahmes, um escriba que relata no papiro a solução de problemas relacionados à  Matemática.
    Os gregos deram grande importância ao desenvolvimento da Geometria, realizando e relatando inúmeras descobertas importantes para a Matemática, mas na parte que abrangia a álgebra, foi Diofanto de Alexandria que contribuiu de forma satisfatória na elaboração de conceitos teóricos e práticos para a solução de equações.
    Diofanto foi considerado o principal algebrista grego. há de se comentar que ele nasceu na cidade de Alexandria localizada no Egito, mais foi educado na cidade grega de Atenas.As equações eram resolvidas com o auxílio de símbolos, que expressavam o valor desconhecido.


                      

quarta-feira, 8 de fevereiro de 2012

Funções

Contexto histórico


Hoje na História: 1716 - CRIADOR DA FUNÇÃO MATEMÁTICA, VON LEIBNIZ
MORRE EM HANOVER


Filósofo, cientista, matemáticos diplomata alemão é considerado, ao lado de Newton, um dos  pais do cálculo matemático.
Gottfried Wilhelm Von Leibniz, filósofo, cientista, matemático e diplomata alemão, morre em Hanover em 14 de novembro de 1716. A ele é atribuída a criação do termo " função" (1694), que usou para descrever uma quantidade relacionada a uma curva, como, por exemplo, a inclinação ou um ponto qualquer nela situado. É creditado a Leibniz e a Newton o desenvolvimento do cálculo moderno, em particular a integral e a regra do produto.
Demonstrou genialidade também nos campos da lei, religião, política, história, literatura, lógica e metafísica. Por tudo  isso é considerado uma das grandes figuras da civilização europeia.
Von Leibniz produziu uma obra filosófica de primeiro plano, fez diversas descobertas em física, construiu uma máquina de calcular superior a de Blaise Pascal, interessou- se pela lógica, pela numeração binária, foi um dos dois fundadores da análise matemática, realizou estudos jurídicos e cumpriu numerosas missões diplomáticas.
Contrariamente à imensa maioria dos matemáticos, Leibniz chegou tarde às matemáticas, aos 26 anos, por ocasião de uma estada em Paris em 1672.
Muito rápido, porém, tornou- se um mestre.
A partir de 1675, num manuscrito datado de 21 de novembro, inventa os símbolos dx, um S da palavra latina summa, estabelece as primeiras regras da derivação e da integração. Cria a análise matemática ou cálculo infinitesimal, que se mantém até hoje no programa de matemática dos colégios.
A partir de 1684, Leibniz publica as bases de seu novo cálculo na revista que fundara em Leipzig, as Acta  Eriditorum, ou Atlas dos Eruditos. Os resultados são inumeráveis e marcantes, apesar de alguns erros. Um dos mais importantes é o Teorema Fundamental da Análise, a saber, que derivação e integração são operações ( sobre as funções) sempre inversas uma à outra. A própria expressão - função - é devida a Leibniz.
Em seu novo cálculo, teve seguidores que logo o desenvolveram e o difundiram, entre os quais se encontram

sábado, 4 de fevereiro de 2012

Exercícios Diversos

1) Efetue os produtos notáveis:


a) ( a + 3)²           b) ( x + 8)²        c) ( x + 2y) ²        d) ( 3 + 4a)²         e) ( x - 10) ²


f) ( x + y) ( x - y)      g) ( 10a + b) ( 10a - b)


2) Fatore os polinômios:


a) colocando em evidência o fator em comum:


a² - ab                      2x + 4x² + 6x³


b) agrupando e colocando em evidência:


xy + x - ya - a                 x² - 3x + x - 3               a³ - 2a² + a + a²b - 2ab + b


c) usando o trinômio do quadrado perfeito:


a² + 8a + 16                 x² - 12x + 36                 4x² + 12xy + 9x²


d) usando a diferença de dois quadrados:


a² - 100                     9x² - 4y²                 x² - 64


e) usando a soma de dois cubos:


a³ + b³         8x³ + 27           x³ + 125


f) usando a diferença de dois cubos:


a³ - 27         8x³ - 1            27x³ - 64y³