terça-feira, 15 de novembro de 2011

Resolução de Problemas- Polya

Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, o grande matemático George Polya o dividiu em quatro etapas:

1- Entenda o Problema:

-Primeiro tem que entender o problema;
- Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições
- É possivel satisfazer as condições? Elas são suficientes para determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou redundantes? Ou contraditórias:
- Faça uma figura. Outra se necessário. Introduza notação adequada.
- Separe as condições em partes

2- Construa uma estratégia de resolução:

- Ache conexões entre os dados e as incógnita. Talvez seja conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares, se uma conexão não for achada em tempo razoável. Use isso para "bolar" um plano ou estratégia de resolução do problema.

3- Execute a estrategia:

- Frequentemente, esta é a etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Contudo,  a maiorias dos principiantes tendem a pular para essa etapa prematuramente, e acabam dando- se mal. Outros elaboram estratégias inadequadas e acabam se enredando terrivelmente na execução.

4- Revise:

- Examine a solução obtida.
- Verifique o resultado e o argumento.
- Você pode obter a solução de outro modo?
-Qual é a essência do problema e do método de resolução empregado? Em particular, você consegue usar o resultado, ou o método, em algum outro poblema?

sábado, 12 de novembro de 2011

Razão e Proporção

Questões:


01. Se (3, x, 14, ...) e (6, 8, y, ...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y é:
                                 
a) 20
b) 22
c) 24
d) 28
e) 32
                                 
                                 
02. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x, ...) e (12, y, 4, ...) são grandezas inversamente proporcionais.
                                 
                                 
03. Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5.


04. Repartir uma herança de R$ 495.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1ª pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2ª pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a 3ª pessoa 48 anos e 6 filhos.


05. Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é:

a) 90
b) 96
c) 180
d) 72
e) -124


06. (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:

a) x = 1 e y = 6
b) x = 2 e y = 12
c) x = 1 e y = 12
d) x = 4 e y = 2
e) x = 8 e y = 12


07.
 Sabe-se que y é diretamente proporcional a x e que y = 10 quando x = 5. De acordo com estes dados, qual:

a) a sentença que relaciona y com x?
b) o gráfico da função f: [-2; 3] ® ℝ definida pela sentença anterior?
c) o valor de y quando x = 2?


08.  (FUVEST) São dados três números reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um quarto do maior. Então a, b e c são, respectivamente, proporcionais a:

a) 1, 2 e 3
b) 1, 2 e 5
c) 1, 3 e 4
d) 1, 3 e 6
e) 1, 5 e 12


09. (MACK) Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é:

a) 35
b) 49
c) 56
d) 42
e) 28


10. (UFLA) Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente:

a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00
b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00
c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00
d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00
e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00


Resolução:

01. E

02.
 
x = 3 e y = 6

03. As partes são: 32, 48 e 80.

04.
 A 1ª pessoa deve receber R$ 120.000,00, a 2ª pessoa R$ 150.000,00 e a terceira pessoa R$ 225.000,00.

05. B

06. C
07. a) y = 2x      
       c) y = 4

08. C

09. B
10. Cvg

Pirâmides

Questões:


01. (EUMT - LONDRINA) O volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela figura abaixo é:


a) 300
b) 240
c) 225
d) 210
e) 180
  

02.  (FEI - MAUÁ) Secciona-se uma pirâmide regular de altura h por um plano paralelo à base, a uma distância x do vértice. Pede-se x de modo que a áreas laterais da pirâmide se altura x e do tronco de pirâmide de altura h - x sejam iguais.


03. (MAUÁ) Dado o Tetraedro de aresta L, determine, em função de L, o volume V do cone circular circunscrito, isto é, do cone que tem vértice do Tetraedro e base circunscrita à face do Tetraedro.


04. (MAUÁ)  Dado um Tetraedro regular de aresta L, determine, em função de L, a área lateral A do cilindro reto circunscrito, isto é, do cilindro que tem uma base circunscrevendo uma face do Tetraedro e altura igual à altura do Tetraedro.


05. (LONDRINA) O tetraedro regular ABCD tem centro O. O ângulo diedro de faces OAB e OAC mede:

a) 30°
b) 60°
c) 120°
d) 135°
e) 150°


06. (SJRP - JUNDIAI) Os vértices de um tetraedro regular de volume 1m
³ são centros das faces de outro tetraedro regular. O volume deste outro tetraedro vale:

a) 1 m³
b) 3m³
c) 9m³
d) 27m³
e) 81m³


07.
  (MAUÁ) Na pirâmide VABC os ângulos AVB, BVC e CVA são retos. Calcular a distância de V ao Plano ABC sabendo-se que VA = VB = VC = 1m.
   
 
08.
 (OSEC) Um prisma e uma pirâmide tem bases com a mesma área. Se o volume do prisma é o dobro do volume da pirâmide, a altura da pirâmide será:

a) O triplo da do prisma.
b) O dobro da do prisma.
c)  O triplo da metade da do prisma.
d) O dobro da terça parte da do prisma.
e) n.d.a


09. (UnB) Sejam Pi e P2 duas pirâmides de mesma altura. A base de Pi é um quadrado e a de P2 um triângulo de área igual a do quadrado. Então, a área lateral de Pi é:

a) sempre maior do que a de P2;
b) sempre menor do que a de P2;
c) sempre igual a de P2;
d) n.d.a.


Resolução:

01. B
02.

03.
  


04.

05. D

06. D

07.
  

08. C

09. D

Exercícios de Vestibular- Circunferência

Questões:


01. (USP) Os lugar geométrico dos pontos de coordenadas (x; y) tais que y2 + (x - 1)2 = 0 é:

a) a origem
b) duas retas concorrentes
c) um ponto que não é a origem
d) conjunto vazio
e) uma reta.


02. (USP) A equação da reta perpendicular ao eixo das abscissas que passa pelo ponto médio do segmento AB, onde A(2, 3) e B é o centro da circunferência de equação 
x2 + y2 - 8x - 6y + 24 = 0, é:

a) y = 3
b) y = 4
c) x = 4
d) x = 3
e) 3x + 4y = 0


03. (USP) Se M é o ponto médio do segmento AB e P é o ponto médio do segmento OM, determinar a equação da circunferência de centro P e raio OP.


                                                  
04. Determinar a equação da tangente à circunferência 
x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 pelo ponto P(-1; 2).


05. Determinar as equações das retas (t) tangentes à circunferência 
x2 + y2 + 2x - 3 = 0 e que passam pelo ponto P(5, 2).


06. (UEMT) Dada a circunferência C da equação 
(x - 1)2 + y2 = 1 e considerando o ponto P(2, 1), então as retas tangentes a C passando por P:

a) Têm equações y = 1 e x = 2.
b) não existem pois P é interno a C.
c) são ambas paralelas à reta y =1
d) Têm equações y = 1 (e só uma porque P está em C).
c) Têm equações x = 1 e y = 2.


07. A equação da circunferência que passa pelo ponto (2,0) e que tem centro no ponto (2, 3) é dada por:
 
a) x2 + y2 - 4x - 6y + 4 = 0 
b) x2 + y2 - 4x - 9y - 4 = 0
c) x2 + y2 - 2x - 3y + 4 = 0
d) 3x2 + 2y2 - 2x - 3y - 4 = 0
e) (x - 2)2 + y2 = 9



08. A equação da circunferência que passa pelo ponto A = (0; 2) e é tangente na origem a reta r y + 2x = 0, é:
 
a) x2 + y2 - 2x - y = 0 
b) x2 + y2 + 4x - 2y = 0
c) x2 + y2 - 4x - 2y = 0
d) x2 + y2 + 4x + 2y = 0
e) x2 + y2 + 4x + 2y = 0


  
09. A equação da circunferência que tangencia as retas x + y = 0 e x + y = 8 e que passa pelo ponto (0; 0) é:
 
a) 2 . x2 + 2y2 - 4x - 4y = 0 
b) x2 + y2 - 2x - 6y = 0
c) x2 + y2 - 4x - 4y = 0
d) x2 + y2 + 4x + 4y = 0
e) n.d.a.



10. A equação da reta tangente à circunferência
 (x - 4)2 + (y - 5)2 = 20 e que a tangencia no ponto de abscissa 2 é:

a) x - 2y - 4 = 0
b) x + 2y - 4 = 0 e x - 2y + 16 = 0
c) x + y - 2 = 0 e x - y + 16 = 0
d) x + 2y - 4 = 0 e x - 2y + 4 = 0
e) n.d.a.


Resolução:

01. C
02. D
03. (x - 1)2 + (y-1)2 = 2

04. x + 1 = 0

05. y - 2 = 0 e 3x - 4y - 7 = 0


06. A07. A08. C09. C
10. B  

sexta-feira, 4 de novembro de 2011

Atividade para o Ensino Fundamental 1- Material Dourado

Atividade 1- Fazendo trocas

Objetivo: compreender as características do sistema decimal.


- fazer agrupamentos de 10 em 10;
- fazer reagrupamentos;
- fazer trocas;
- estimular o cálculo mental.


Para essa atividade, cada grupo deve ter um dado marcado de 4 a 9.
Cada criança do grupo, na sua vez de jogar, lança o dado e retira para si a quantidade de cubinhos correspondente ao número que sair no dado.
Veja bem: o número que sai no dado dá direito a retirar somente cubinhos.
Toda vez que uma criança juntar 10 cubinhos, ela deve trocar os 10 cubinhos por uma barra. E aí ela tem direito de jogar novamente.
Da mesma maneira, quando tiver 10 barrinhas, pode trocar as  10 barrinhas por uma placa e então jogar novamente.
O jogo termina, por exemplo, quando algum aluno consegue formar duas placas.
O professor então pergunta:
- Quem ganhou o jogo?
- Por quê?
Se houver dúvida, fazer as "destrocas".
O objetivo do jogo das trocas é a compreensão dos agrupamentos de dez em dez (dez unidades formam uma dezena, dez dezena formam uma centena, etc.), característicos do sistema decimal.
A compreensão dos agrupamentos na base 10 é muito importante para o real entendimento das técnicas operatórias das operações fundamentais.
O fato de a troca ser premiada com o direito de jogar novamente aumenta a atenção da criança no jogo. Ao mesmo tempo, estimula seu cálculo mental. Ela começa a calcular mentalmente quanto falta para juntar 10, ou seja, quanto falta para que ela consiga fazer uma nova troca.
- cada placa será destrocada por 10 barras;
- cada barra será destrocada por 10 cubinhos.
Variações:
Pode- se jogar com dois dados e o aluno pega tantos cubinhos quanto for a soma dos números que tirar dos dados.
Pode- se utilizar também uma roleta indicando de 1 a 9.