quarta-feira, 4 de maio de 2011

Caos

   O ser humano sempre buscou controlar o meio em que vive, e para isso a Matemática sempre o auxiliou a organizar o aparente caos (desordem).
   Entretanto, há muitas situações, como o estudo dos climas, por exemplo, nas quais fazer uma previsão sobre o futuro é extremamente difícil. Basta acompanhar os noticiários: é só os metereologistas preverem que o dia seguinte será chuvoso, para ele revelar-se como um maravilhoso dia ensolarado!
   Tendo em mãos uma simples calculadora, você poderá entender um pouco melhor esse comportamento caótico, imprevisível.
   A idéia é a seguinte: vamos utilizar um número inicial, digamos 0,25. Em seguida, faremos uma conta com esse número para achar seu próximo valor. Depois, repetiremos a mesma conta com esse novo valor, e assim sucessivamente, para analisar o que acontece.
   A conta que faremos é dividida em três etapas:

   a) multiplicaremos o número escolhido por 4;
   b) subtraímos esse mesmo número de 1;
   c) multiplicamos os dois resultados acima.

   Comecemos com 0,25:


      a)    4x 0,25=     1

      b)    1 - 0,25=   0,75

      c)    1 x 0,75=  0,75

   Agora, usaremos esse resultado (0,75) para repetir as mesmas contas indicadas:

      a)    4 x 0,75=   3

      b)   1 - 0,75=   0,25

     c)    3 x 0,25=  0,75

   Veja que obtivemos o mesmo valor 0,75. É claro que, se continuarmos a repetir essas contas, sempre encontraremos a mesma resposta, que é 0,75.
   O que significa isso?
   O resultado atingiu um valor estável.
   Façamos, agora, uma pequena alteração no valor inicial escolhido: em vez de usarmos 0,25, aumentaremos um pouco para 0,30, e vejamos o que ocorre:

      a)    4 x 0,30=  1,20

      b)    1 - 0,30=   0,70

      c)     1,20 x 0,70= 0,84

   Continuaremos, agora, com o novo valor 0,84:

      a)    4 x 0,84= 3,36

      b)   1 - 0,84= 0,16

      c)    3,36 x 0,16= 0,54

   Prosseguindo com 0,54, obtemos:

      a)   4 x 0,54= 2,16

      b)   1 - 0,54= 0,46

      c)   2,16 x 0,46= 0,99

   Continuando com os cálculos, obtemos, na tabela abaixo, os valores das oito primeiras operações:


                  Operação                  Resultado

                     1ª                             0,30
                     2ª                             0,54
                     3ª                             0,99
                     4ª                             0,02
                     5ª                             0,09
                     6ª                             0,32
                     7ª                             0,87
                     8ª                             0,45

   Observe que, dessa vez, não obtivemos um valor fixo, e nem mesmo uma tendência para esses valores: ora aumentam, ora diminuem, sem qualquer sinal de que irão estabilizar-se. Em outras palavras, trata-se de caos.
   Os cientistas denominaram esse comportamento de "Efeito Borboleta": uma pequena alteração nos valores iniciais causara enormes mudanças no resultado. Assim, dizem eles, o bater de asas de uma borboleta no japão pode causar um furacão uma semana depois do outro lado do mundo !


Bibliográfia:

Sampaio, Fausto Arnaud. Matemágica História, Aplicações e Jogos Matemáticos. Campinas, SP: Papirus, 2005.

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