terça-feira, 21 de dezembro de 2010

Integral

No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes.
O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.
Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. No entanto todas estas definições dão a mesma resposta para o resultado final de uma integração.
A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecida para integral indefinida é[1]:
 \int f(x)dx = F(x) se e somente se  \frac{dF(x)}{dx}= f(x)

Para se descrever a integral de uma função f de uma variável x entre o intervalo [a, b] utiliza-se a notação:
 S = \int_{a}^{b} f(x) dx
A ideia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório. Isto porque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx tendendo a zero e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
 \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x.                                                            
onde:
\Delta x = \frac{b-a}{N}
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais se divide o intervalo (b-a), f(xi) é o valor da função em algum ponto deste intervalo. O que se espera é que quando N for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de f(x) no intervalo. Ou seja, que o limite
 \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x =  \int_{a}^{b} f(x) dx = S
esteja definido. O problema é que este raciocínio intuitivo é difícil de colocar em linguagem matemática precisa. Por isto existem várias formas de se definir a integração de maneira formal. O resultado entretanto é coerente entre elas.
Aproximações da integral de √x de 0 a 1, com  5 amostras à direita (acima) e  12 amostras à esquerda (abaixo)
O símbolo da integral, ou o "s espichado" é utilizado dessa maneira para denotar uma soma.[2]

                   Teorema fundamental do Cálculo
Caso se resolva a integral acima entre os limites a e b, o resultado final pode ser escrito como:
 S =  \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)
onde a função F(x) é a função resultante da integração da função f(x). O problema da integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto a encontrar a função F(x).
O resultado acima é extremamente importante pois ele oferece uma indicação de como obter a integral. Para ver isto, supõe-se que o limite superior da integral, isto é, b, seja muito próximo de a, tal que se possa escrever:
b = a + Δx
Como os pontos limites da integral estão muito próximos, pode-se escrever:
 \int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = F(a + \Delta x) - F(a)
Olhando na definição da integração como um limite, dada acima, pode-se dizer que a integral, neste caso, se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto pode-se afirmar, sem causar um erro muito grande, que:
 \int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = f(a) \Delta x = F(a + \Delta x) - F(a)
Comparando com a definição da derivada de uma função:
 f(x) = \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x)
vê-se que a função procurada F(x) é uma função tal que, quando tomada a sua derivada, obtém-se a função f(x). Em outras palavras, ao se calcular a derivada de uma função pode-se também calcular a integral da função resultante. Esta propriedade mostra que a integração na verdade é a operação inversa da derivação, pois se uma função for derivada e em seguida o resultado integrado, obtém-se a função original. Esta propriedade é chamada de Teorema fundamental do Cálculo.

 Passo-a-Passo

Integral Definida - Uma integral definida consta basicamente em integrar uma função constante nos intervalos, através das primitivas, que nada mais são do que a função integrada a cada membro.
Fórmula das Primitivas
 \int a\cdot x^{n} dx = \frac{a\cdot x^{n+1}} {n+1}
Exemplo:
Cada membro da função é tratado como uma função em separado, para em seguida ser efetuada a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual se substitui o valor de X pelos valores do intervalo. Feito isso, usa-se o teorema do cálculo para chegar ao valor da integral.
No intervalo (0,3)
f(x) = x2 + 2x + 4


 \int x^{2} dx + \int (2x) dx + \int (4) dx
Aqui usa-se a Fórmula da Primitiva em cada integral.
 \frac{x^{2+1}} {2+1} + \frac{2\cdot x^{1+1}} {1+1} + \frac{4 \cdot x^{0+1}} {0+1}
Gera-se a outra função, que será usada para substituir os valores do intervalo.
 \frac{x^3} {3} + x^2 + 4\cdot x
Para x = 0
f(a) = 0
Para x = 3
 \frac{3^3} {3} + 3^2 + 4\cdot 3
f(b) = 30

 Aplicação do teorema fundamental do Cálculo

 \int_{a}^{b} \frac {d}{dx}f(x) dx = f(b) - f(a)
 \int_{0}^{3} (x^2+2x+4) dx = \frac{3^3} {3} + \frac{2.3^{2}} {2} + 4.3 - 0 = 3^2 + 3^2 + 12 = 9 + 9 + 12
 \int_{0}^{3} (x^2+2x+4) dx = 30

 Exemplos de integração

Estas são as integrais do todo superlativo ao cubo do cateto das hipotenusas de algumas das funções mais comuns:
 \int_{a}^{b} 1 dx = x|_a^b  = (b-a) (Integral da função constante)
 \int_{a}^{b} x dx = \frac{1}{2} x^2|_a^b  = \frac{1}{2}(b^2-a^2) (Integral da função f(x) = x )
Por definição a barra  f(x) |_a^b é utilizada com o significado da diferença f(b) - f(a)

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